Родился 30 марта 1914 года в селе Голышманово Тобольской губернии (ныне Тюменская область). Алексей Ильич Бельский в годы Великой Отечественной войны участвовал в освобождении Белоруссии и Украины, в Ясско-Кишинёвской операции, взятии Берлина.

   Командир 1-го штурмового стрелкового батальона 273-го гвардейского стрелкового полка (89-я гв. стрелковая дивизия, 5-я ударная армия, l-й Белорусский фронт) гвардии майор А. И. Бельский отличился во время Висло-Одерской операции в январе 1945 года на территории Польши.

 Во время боёв за освобождение Кишинёва батальон под его командованием первым прорвался к центру города и вечером 23 августа 1944 года водрузил красное знамя на руинах здания на перекрёстке улиц Ленина и Гоголя.

Командующим 5-й ударной армией генерал-полковником Н. Э. Берзариным за бои в Берлине был представлен ко второй Звезде Героя Советского Союза, но по различным причинам звание дважды Героя Советского Союза присвоено не было.

 27 февраля 1945 года Бельский получил звание Героя Советского Союза. После войны жил в Кишинёве, где и был похоронен на Центральном (Армянском) кладбище.